Glosario - Datos, Ecuaciones Diferenciales e Inteligencia Artificial

ODE: Ecuación Diferencial Ordinaria (Ordinary Differential Equation). Ecuación que describe la evolución de un estado $u(t)$ en función de sus derivadas respecto al tiempo: $\frac{du}{dt} = f(u, t, \theta)$ . — Clase 2
PDE: Ecuación en Derivadas Parciales (Partial Differential Equation). Generalización de las ODEs donde el estado depende de múltiples variables independientes (e.g., tiempo y espacio). — Clase 2
NODE: Ecuación Diferencial Ordinaria Neuronal (Neural Ordinary Differential Equation). Modelo donde la dinámica del estado está parametrizada por una red neuronal: $\frac{du}{dt} = f_\theta(u, t)$ . Introducido por Chen et al. (2018). — Clase 2
UDE: Ecuación Diferencial Universal (Universal Differential Equation). Generalización de las NODEs donde partes de una ecuación diferencial conocida son reemplazadas por redes neuronales. Introducido por Rackauckas et al. (2020).
Parámetro: Vector $\theta \in \mathbb{R}^p$ que caracteriza el comportamiento de un sistema dinámico. Inferir $\theta$ a partir de datos observados es uno de los problemas centrales del curso. — Clase 2
Condición inicial: Valor $u_0 = u(t_0)$ que especifica el estado del sistema en el tiempo inicial $t_0$ . Junto con la ecuación diferencial ordinaria, determina unívocamente la solución (bajo condiciones de regularidad). — Clase 2
Ajuste de trayectorias: Método de inferencia estadística (trajectory matching) que estima los parámetros $\theta$ minimizando la discrepancia entre la solución numérica $u(t;\theta)$ y las observaciones $\{y_i\}$ . Ver Ramsay & Hooker (2017). — Clase 2
Programación diferenciable: Paradigma computacional (differentiable programming) que permite calcular gradientes de funciones definidas por programas, incluyendo simulaciones numéricas de ecuaciones diferenciales. Habilita el entrenamiento de modelos híbridos física-datos. Ver Sapienza et al. (2024) y Blondel & Roulet (2024).
Sistema de Lotka-Volterra: Modelo depredador-presa descripto por el sistema de ODEs: $\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y$ , $\frac{dy}{dt} = \delta x y - \gamma y$ . Es uno de los ejemplos recurrentes del curso. — Clase 2

References¶

Chen, R. T., Rubanova, Y., Bettencourt, J., & Duvenaud, D. K. (2018). Neural ordinary differential equations. Advances in Neural Information Processing Systems, 31.
Rackauckas, C., Ma, Y., Martensen, J., Warner, C., Zubov, K., Supekar, R., Skinner, D., Ramadhan, A., & Edelman, A. (2020). Universal differential equations for scientific machine learning. arXiv Preprint arXiv:2001.04385.
Ramsay, J., & Hooker, G. (2017). Dynamic data analysis. Springer New York, New York, NY. Doi, 10, 978–1.
Sapienza, F., Bolibar, J., Schäfer, F., Groenke, B., Pal, A., Boussange, V., Heimbach, P., Hooker, G., Pérez, F., Persson, P.-O., & Rackauckas, C. (2024). Differentiable Programming for Differential Equations: A Review. arXiv. 10.48550/arxiv.2406.09699
Blondel, M., & Roulet, V. (2024). The elements of differentiable programming. arXiv Preprint arXiv:2403.14606.